【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4,以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過兩個(gè)焦點(diǎn),A,B是橢圓C的長(zhǎng)軸端點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓O的方程;
(2)設(shè)P、Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),若直線PQ與x平行,直線AP、BP與y軸的交點(diǎn)即為M、N,試證明∠MQN為直角.
【答案】
(1)解:由橢圓定義可得2a=4,又b=c且b2+c2=a2,
解得a=2,b=c= ,即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ,
則圓O的方程為x2+y2=2;
(2)證明:設(shè)P(x0,y0),直線AP:y=k(x+2)(k≠0),
令x=0可得M(0,2k).
將 和y=k(x+2)(k≠0)聯(lián)立可得
(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣4=0,
則 , , ,
故 ,
直線BP的斜率為 ,
直線BP: ,
令x=0可得 .
設(shè)Q(xQ,y0),則 ,
由 , ,
可得 ,
所以 ,即∠MQN是定值90°
【解析】(1)運(yùn)用橢圓的定義和a,b,c的關(guān)系,解方程可得橢圓的方程和圓的方程;(2)設(shè)P(x0 , y0),直線AP:y=k(x+2)(k≠0),求得M,代入橢圓方程,求得P的坐標(biāo),求出直線BP的方程,可得N的坐標(biāo),設(shè)Q(xQ , y0),求得向量QM,QN的坐標(biāo),運(yùn)用向量數(shù)量積計(jì)算即可得證.
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【題目】用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個(gè)區(qū)域內(nèi),每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰兩個(gè)區(qū)域涂不同的顏色,五種顏色可以反復(fù)使用,共有___________種不同的涂色方法?
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【題目】定義函數(shù)F(a,b)= (a+b﹣|a﹣b|)(a,b∈R),設(shè)函數(shù)f(x)=﹣x2+2x+4,g(x)=x+2(x∈R)函數(shù)F(f(x),g(x))的最大值與零點(diǎn)之和為( )
A.4
B.6
C.
D.
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【題目】若的展開式中,第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求的值;
(2)此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng),為什么?
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【題目】如圖,在三棱臺(tái)ABO﹣A1B1O1中,側(cè)面AOO1A1與側(cè)面OBB1O1是全等的直角梯形,且OO1⊥OB,OO1⊥OA,平面AOO1A1⊥平面OBB1O1 , OB=3,O1B1=1,OO1= .
(1)證明:AB1⊥BO1;
(2)求直線AO1與平面AOB1所成的角的正切值;
(3)求二面角O﹣AB1﹣O1的余弦值.
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【題目】一袋中裝有6個(gè)黑球,4個(gè)白球.如果不放回地依次取出2個(gè)球.求:
(1)第1次取到黑球的概率;
(2)第1次和第2次都取到黑球的概率;
(3)在第1次取到黑球的條件下,第2次又取到黑球的概率.
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【題目】已知橢圓: 的左右焦點(diǎn)分別 ,過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn),滿足.
(1)求橢圓的離心率.
(2)是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)(異于橢圓的頂點(diǎn)),直線分別與軸相交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若,求橢圓的方程.
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【題目】已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,且a10=19,S10=100;數(shù)列{bn}對(duì)任意n∈N* , 總有b1b2b3…bn﹣1bn=an+2成立.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記cn=(﹣1)n ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】如圖,⊙O是以AB為直徑的圓,點(diǎn)C在圓上,在△ABC和△ACD中,∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD,DC的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.若EB=6,EC=6 ,則BC的長(zhǎng)為 .
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