Question

【題目】在數(shù)列中，，其中.

（1）若依次成公差不為0的等差數(shù)列，求m;

（2）證明：“”是“恒成立”的充要條件;

（3）若，求證：存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明略；（3）證明略。

【解析】

（1）由得出，再因?yàn)?/span> 依次成公差不為0的等差數(shù)列，可得，可求得的值;

（2）由，得出，再由，可得，由此可證充分性；再 對(duì)恒成立，可得對(duì)恒成立，可得出可證其必要性，可得證；

（3）由，

，將上述不等式相加得 ，可取正整數(shù)，可得證.

（1）由得，，，，

因?yàn)?/span>依次成公差不為0的等差數(shù)列，所以，

即，解得（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)的公差不為，

所以;

（2）因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，

所以“”是“”恒成立的充分條件；

因?yàn)?/span>，，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，

而，所以，要使對(duì)恒成立，則需，

所以“”是“”恒成立的必要條件，

所以“”是“恒成立”的充要條件.

（3）因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>

所以令，

，

將上述不等式相加得 ，所以 ，

取正整數(shù)，有 ，

所以當(dāng)，存在，使得.