【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足:正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個(gè)平面互相垂直,FBAEFB2EA.

1)證明:平面EFD⊥平面ABFE;

2)求二面角EFDC的余弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析(2

【解析】

1)先證明AB⊥平面BCF,然后可得平面EFD⊥平面ABFE

2)建立空間直角坐標(biāo)系,求解平面的法向量,然后利用向量的夾角公式可求.

1)由題可得,因?yàn)?/span>ABCD是正方形且三角形FBC是正三角形,所以BCADBCAD,FBBC且∠FBC60°,

又因?yàn)?/span>EAFB,2EAFB,所以∠EAD60°,在三角形EAD中,根據(jù)余弦定理可得:EDAE.

因?yàn)槠矫?/span>ABCD⊥平面FBC,ABBC,平面ABCD平面FBCBC,且AB平面ABCD,所以AB⊥平面BCF

因?yàn)?/span>BCAD, E AFB,FBBCB,且FB、BC平面FCB,EA、AD平面EAD,所以平面EAD∥平面FBC,所以AB⊥平面EAD,

又因?yàn)?/span>ED平面EAD,所以ABED

綜上:EDAE,EDAB,EAABAEA、AB平面ABFE,所以DE⊥平面ABFE

DE平面DEF,所以平面EFD⊥平面ABFE.

2)如圖,分別取BCAD的中點(diǎn)OG,連接OF,OG,

因?yàn)?/span>BOOC且三角形FBC為正三角形,所以FOBC,

因?yàn)?/span>AGGD,BOOC,所以OGAB,

由(1)可得,AB⊥平面FBC,則OG⊥平面FBC,

OFOB、OG兩兩垂直,分別以OB、OG、OF所在直線為xy,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)BC4,則,

設(shè)平面DEF的法向量為,平面DCF的法向量為

,

,

所以

又二面角EFDC是鈍二面角,所以二面角EFDC的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)若采用隨機(jī)數(shù)表法抽樣,并按照以下隨機(jī)數(shù)表,以加粗的數(shù)字5為起點(diǎn),從左向右依次讀取數(shù)據(jù),每次讀取三位隨機(jī)數(shù),一行讀數(shù)用完之后接下一行左端.寫(xiě)出樣本編號(hào)的中位數(shù);

05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74

07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51

51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48

26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94

14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43

2)若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣,且樣本中最小編號(hào)為08,求樣本中所有編號(hào)之和:

3)若采用分層軸樣,按照學(xué)生選擇題目或題目,將成績(jī)分為兩層,且樣本中題目的成績(jī)有8個(gè),平均數(shù)為7,方差為4:樣本中題目的成績(jī)有2個(gè),平均數(shù)為8,方差為1.用樣本估計(jì)900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差.

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A. 198B. 268C. 306D. 378

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