已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，直線l過點F交拋物線C于A、B兩點．
（Ⅰ）設A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在定點Q，使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF？證明你的結論．
分析：（Ⅰ）設直線l方程為y=kx+1，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用基本不等式即可求得求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍，從而解決問題．
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在定點Q，使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF，再利用斜率公式結合推理，求出Q點，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）設直線l方程為y=kx+1代入x2=4y得x2-4kx-4=0
設A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=4k，x1x2=-4
1
y1
+
1
y2
≥2
1
y1
•
1
y2
=2
1
x
2
1
4
•
1
x
2
2
4
=2
16
(-4)2
=2
所以
1
y1
+
1
y2
的取值范圍是[2，+∞）．（7分）
（Ⅱ）當l平行于x軸時，要使∠AQF=∠BQF，則Q必在y軸上．
設點Q（0，b），由題意得
kAQ+kBQ=0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
，
∵x12=4y1，x22=4y2，∴b=-1
∴Q（0，-1）
∵以上每步可逆，
∴存在定點Q（0，-1），使得∠AQF=∠BQF（15分）
點評：本題主要考查拋物線的標準方程和直線與拋物線的聯(lián)立問題．直線與圓錐曲線的聯(lián)立是高考考查圓錐曲線的一種典型題型，一般作為壓軸題出現(xiàn)．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0），其焦點F到準線的距離為
12
．
（1）試求拋物線C的方程；
（2）設拋物線C上一點P的橫坐標為t（t＞0），過P的直線交C于另一點Q，交x軸于M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N，若MN是C的切線，求t的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=
12
y和定點P（1，2），A、B為拋物線C上的兩個動點，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)．
（I）求證：直線AB的斜率是定值；
（II）若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點M，求M的軌跡方程；
（III）若A′與A關于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點P的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py，過點A（0，4）的直線l交拋物線C于M，N兩點，且OM⊥ON．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點Q，若△MNQ是等腰三角形，求直線MN的方程．K．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=ay（a＞0），斜率為k的直線l經過拋物線的焦點F，交拋物線于A，B兩點，且拋物線上一點M(2
2
 ， m) (m＞1)到點F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且
AF
=3
FB
，求k的值．
（Ⅲ）過A，B兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為點Q，求證：
AB
 • 
FQ
=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2my（m＞0）和直線l：y=x-m沒有公共點（其中m為常數(shù)）．動點P是直線l上的任意一點，過P點引拋物線C的兩條切線，切點分別為M、N，且直線MN恒過點Q（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點為原點，連接PQ交拋物線C于A、B兩點，求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值．

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