【題目】如圖,已知A,B,C,D四點(diǎn)共面,且CD=1,BC=2,AB=4,∠ABC=120°,cos∠BDC= .
(1)求sin∠DBC;
(2)求AD.
【答案】
(1)解:在△BDC中,因?yàn)? ,
所以 .
由正弦定理 得, .
(2)解:在△BDC中,由BC2=DC2+DB2﹣2DCDBcos∠BDC,
得, .
所以 .
解得 或 (舍).
由已知得∠DBC是銳角,又 ,
所以 .
所以cos∠ABD=cos(120°﹣∠DBC)=cos120°cos∠DBC+sin120°sin∠DBC= = .
在△ABD中,因?yàn)锳D2=AB2+BD2﹣2ABBDcos∠ABD= ,
所以 .
【解析】(1)利用已知及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 ,進(jìn)而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值.(2)在△BDC中,由余弦定理可求DB的值,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 ,進(jìn)而利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求cos∠ABD的值,在△ABD中,由余弦定理可求AD的值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識,掌握正弦定理:,以及對余弦定理的定義的理解,了解余弦定理:;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)的定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(﹣∞,0)時(shí),xf′(x)<f(﹣x)(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)),若a= f( ),b=(lg3)f(lg3),c=(log2 )f(log2 ),則( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.a>c>b
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六段[90,100),[100,110),…,[140,150)后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
求分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻
率分布直方圖;
統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)
值作為代表,據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分;
(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2個(gè),求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣x,若對任意x1 , x2∈[2,+∞),且x1≠x2 , 不等式 >0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}(n∈N*)是公差不為0的等差數(shù)列,a1=1,且 , , 成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Tn , 求證:Tn<1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別是雙曲線E: 的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上一點(diǎn), 到左頂點(diǎn)的距離等于它到漸近線距離的2倍,(1)求雙曲線的漸近線方程;(2)當(dāng)時(shí), 的面積為,求此雙曲線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a,b是正奇數(shù),數(shù)列{cn}(n∈N*)定義如下:c1=a,c2=b,對任意n≥3,cn是cn﹣1+cn﹣2的最大奇約數(shù).?dāng)?shù)列{cn}中的所有項(xiàng)構(gòu)成集合A.
(1)若a=9,b=15,寫出集合A;
(2)對k≥1,令dk=max{c2k , c2k﹣1}(max{p,q}表示p,q中的較大值),求證:dk+1≤dk;
(3)證明集合A是有限集,并寫出集合A中的最小數(shù).】
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣1=0和x2﹣x﹣2a=0的實(shí)根分別為x1、x2和x3、x4 , 若x1<x3<x2<x4 , 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中內(nèi)動點(diǎn)P(x,y)到圓F:x2+(y﹣1)2=1的圓心F的距離比它到直線y=﹣2的距離小1.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,過點(diǎn)F的直線l的斜率為k,直線l交曲線E于A,B兩點(diǎn),交圓F于C,D兩點(diǎn)(A,C兩點(diǎn)相鄰).
①若 =t ,當(dāng)t∈[1,2]時(shí),求k的取值范圍;
②過A,B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線l1 , l2 , 兩切線交于點(diǎn)N,求△ACN與△BDN面積之積的最小值.
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