【題目】(12分)

如圖,在四棱錐

.

(1)當(dāng)PB=2時(shí),證明:平面平面ABCD.

(2)當(dāng)四棱錐的體積為,且二面角為鈍角時(shí),求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析.

(2).

【解析】試題分析:(1)的中點(diǎn),連接,,則,由,推出,根據(jù),推出,即可證明為矩形,則,即可證明,從而可證平面平面;(2),,推出平面可得平面 平面過點(diǎn)平面,根據(jù)四棱錐的體積為即可算出,從而可得的值,以為坐標(biāo)原點(diǎn),,所在的直線為,在平面內(nèi)過點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出向量與平面的一個(gè)法向量,即可求出求直線與平面所成角的正弦值.

試題解析(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接.

為正三角形

.

,

四邊形為矩形

.

,所以,.

平面

平面

平面平面.

(2)如圖,取的中點(diǎn),連接,

平面,所以平面,因?yàn)?/span>平面,所以平面平面,所以過點(diǎn) 平面,垂足一定落在平面與平面的交線.

四棱錐的體積為

,

.

為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸、軸,在平面內(nèi)過點(diǎn)作垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.由題意可知 ,故

,設(shè)平面的法向量為,,,,所以.

設(shè)直線與平面所成的角為,則.

故直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若,且方程內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】技術(shù)員小張對(duì)甲、乙兩項(xiàng)工作投入時(shí)間(小時(shí))與做這兩項(xiàng)工作所得報(bào)酬(百元)的關(guān)系式為:,若這兩項(xiàng)工作投入的總時(shí)間為120小時(shí),且每項(xiàng)工作至少投入20小時(shí).

1)試建立小張所得總報(bào)酬(單位:百元)與對(duì)乙項(xiàng)工作投入的時(shí)間(單位:小時(shí))的函數(shù)關(guān)系式,并指明函數(shù)定義域;

2)小張如何計(jì)劃使用時(shí)間,才能使所得報(bào)酬最高?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),且時(shí),總有成立.

a的值;

判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;

上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列說法正確的是:( )

①設(shè)函數(shù)可導(dǎo),則;

②過曲線外一定點(diǎn)做該曲線的切線有且只有一條;

③已知做勻加速運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)方程是米,則該物體在時(shí)刻秒的瞬時(shí)速度是秒;

④一物體以速度(米/秒)做直線運(yùn)動(dòng),則它在秒時(shí)間段內(nèi)的位移為米;

⑤已知可導(dǎo)函數(shù),對(duì)于任意時(shí),是函數(shù)上單調(diào)遞增的充要條件.

A. ①③B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(12分)

一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(單位:個(gè))與一定范圍內(nèi)的溫度(單位:℃)有關(guān),現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表所示.

經(jīng)計(jì)算得

,線性回歸模型的殘差平方和

,其中分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù),

(1)若用線性回歸模型,求的回歸方程(結(jié)果精確到0.1).

(2)若用非線性回歸模型預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為35℃時(shí),該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).

附:一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出下列四個(gè)命題:

①若命題,則;

②若的極值點(diǎn),則”的逆命題為真命題;

③“平面向量的夾角是鈍角”的一個(gè)充分不必要條件是“”;

④命題“,使得”的否定是:“,均有”.

其中正確的個(gè)數(shù)是( )

A. 1B. 2C. 3D. 0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站退出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,環(huán)境治理和保護(hù)問題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn),參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占.現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(I)求出的值;

(II)求出這200人年齡的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位);

(III)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,求第2組恰好抽到2人的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),,現(xiàn)有如下兩種圖象變換方案:

(方案1):將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標(biāo)不變,再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度;

(方案2):將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话,縱坐標(biāo)不變.

請(qǐng)你從中選擇一種方案,確定在此方案下所得函數(shù)的解析式,并解決如下問題:

1)用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)的閉區(qū)間上的圖象(列表并畫圖);

2)請(qǐng)你在答題紙相應(yīng)位置逐一寫出函數(shù)的①周期性②奇偶性③單調(diào)遞增區(qū)間④單調(diào)遞減區(qū)間.

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