Question

如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1．
（1）求四面體ABOC的體積．
（2）設P為AC的中點，證明：在AB上存在一點Q，使PQ⊥OA，并計算

AB

AQ

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知易得OC⊥平面OAB，即OC為四面體C-AOB底面AOB上的高，代入棱錐體積公式，可得答案．
（2）要計算

AB

AQ

的值，我們可在平面OAB內(nèi)作ON⊥AB交AB于N，連接NC．則根據(jù)已知條件結(jié)合平面幾何中三角形的性質(zhì)我們易得NB=ON=AQ，則易求出

AB

AQ

的值．

解答：解：（1）∵在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=0．OA，OB?平面OAB，
∴OC⊥平面OAB，
即OC為四面體C-AOB底面AOB上的高，
又∵∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1．
∴S_△OAB=

1

2

•OA•OB•sin∠AOB=

3

4

故四面體ABOC的體積V=

1

3

OC•S_△OAB=

3

12

（2）在平面OAB內(nèi)作ON⊥AB交AB于N，連接NC．
又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC
∵NC?平面ONC，
∴OA⊥NC．
取Q為AN的中點，則PQ∥NC．
∴PQ⊥OA
在等腰△AOB中，∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°
在Rt△AON中，∠OAN=30°，
∴ON=

1

2

AN=AQ
在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，
∴NB=ON=AQ．
∴

AB

AQ

=3

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，線段長度（空間兩點之間的距離），（1）的關鍵是證出OC⊥平面OAB，而（2）的關鍵是根據(jù)等腰三角形三線合一得到ON=

1

2

AN=AQ．