Question

（2009•閔行區(qū)二模）（文）對(duì)于任意x∈(0，

π

2

]，不等式psin²x+cos⁴x≥0恒成立，則實(shí)數(shù)p的最小值為

0

．

Answer 1

分析：由psin²x+cos⁴x≥0，知p（1-cos²x-cosx⁴）≥0，所以-（cos²x+

p

2

）²-p+

1

4

p²≥0，（cos²x-

p

2

）²≤p-

1

4

p²，p≥4或p≤0，由此解得p的最小值為0．

解答：解：∵psin²x+cos⁴x≥0，
∴p（1-cos²x）+cosx⁴≥0，
-（cos²x+

p

2

）²-p+

1

4

p²≥0，
（cos²x-

p

2

）²≤p-

1

4

p²（1）
當(dāng)p-

1

4

p²＜0時(shí)（1）式顯然不成立，
  p≥4或p≤0，
當(dāng)0≤p≤2即0＜

p

2

≤1，p-

1

4

p²≥0，
   0≤（cos²x-

p

2

）²≤

1

4

p²≤p-

1

4

p²，0≤p≤2，
  2≤p≤4，0≤（cos²x-

p

2

）²≤

1

4

p²≤p-

1

4

p²，p=2，
  p的最小值為0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)的恒等變換．