雙曲線(a,b>0),一焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為,過點(diǎn)A(0,-b),B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為,
(1)求該雙曲線的方程;
(2)是否存在直線y=kx+5 (k≠0)與雙曲線交于相異兩點(diǎn)C,D,使得 C,D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上,若存在,求出直線方程;若不存在說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)焦點(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離求得b和c的關(guān)系,設(shè)出直線AB的方程,進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求得a和b,則雙曲線的方程可得.
(2)假設(shè)直線存在,把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y,根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2和y1+y2,根據(jù)C,D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上推斷出|AC|=|AD|,進(jìn)而求得CD中點(diǎn)的表達(dá)式,根據(jù)AM⊥CD,分別表示出其斜率,乘積為-1求得k,則直線方程可得.
解答:解:(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為,所以
又因?yàn)檫^點(diǎn)A(0,-b),B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為;
可設(shè)直線方程為,
由點(diǎn)到直線的距離公式得,解得a=,b=1,
所以雙曲線方程為
(2)假設(shè)存在直線y=kx+5(k≠0,)與雙曲線交于相異兩點(diǎn)C,D,使得C,D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上
得(1-3k2)x2-30kx-78=0;可得
因?yàn)镃,D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上;所以有|AC|=|AD|,
所以直線CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為M
因?yàn)锳M⊥CD,所以,解得k=,
所以直線方程為:y=x+5
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與雙曲線的關(guān)系.考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.運(yùn)算能力的考查.
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設(shè)雙曲線=1(a>b>0)的兩條漸近線的夾角為α,則它的離心率是(    )

A.cscα             B.secα           C.csc           D.sec

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設(shè)F1(-c,o)、F2(c,0)是雙曲線=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn),若2∠PF1F2=∠PF2F1,則雙曲線的離心率為(    )

A.               B.                 C.               D.+1

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已知雙曲線=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),P是雙曲線右支上的一點(diǎn),上的投影的絕對(duì)值恰好為||,且它們的夾角為,則雙曲線的離心率為

A.            B.+1              C.                  D.2

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雙曲線=1(a>b>0)的半焦距為c,頂點(diǎn)A(a,0)到漸近線的距離為c,則此雙曲線的離心率一定等于

A.               B.              C.或3              D.或3

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A.cscα             B.secα           C.csc           D.sec

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