Question

已知曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿(mǎn)足到點(diǎn)（1，0）的距離比到直線(xiàn)x=-2的距離小1．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（2，4）的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，滿(mǎn)足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，證明：
（ⅰ）

1

| PA |

+

1

| PB |

=

2

| PQ |

；（ⅱ）點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線(xiàn)定義，很容易判斷曲線(xiàn)C的軌跡為拋物線(xiàn)，再利用求拋物線(xiàn)方程的方法求出曲線(xiàn)C的方程．
（2）（�。┮�證

1

| PA |

+

1

| PB |

=

2

| PQ |

，只需用分析法逐步變形，尋找成立的充分條件即可，最后尋找到恒成立的條件．
（ⅱ）要證點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上，只要找到一條直線(xiàn)，使其上面有點(diǎn)滿(mǎn)足|

QB

|=|

AQ

|，即可．

解答：解：（1）依題意有

(x-1)2+y2

=|x+2|-1，
由顯然x＞-2，得

(x-1)2+y2

=|x+1|，
化簡(jiǎn)得y²=4x；                              
（2）證明：（�。�|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|?

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

=

| PQ |-| PA |

| PB |-| PQ |

?|AP|•|PB|-|

AP

|•|

PQ

|=|

PB

|•|

PQ

|-|

PB

|•|

PA

|?2|

AP

|•|

PB

|=|

PB

|•|

PQ

|+|

AP

|•|

PQ

|
?

1

| PA |

+

1

| PB |

=

2

| PQ |

（ⅱ）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，點(diǎn)Q（x，y），
依（�。┯�

2

2-x

=

1

2-x1

+

1

2-x2

=

4-(x1+x2)

4-2(x1+x2)+x1•x2

*，
又可設(shè)過(guò)點(diǎn)P（2，4）的直線(xiàn)方程為y=k（x-2）+4，
得

y=k(x-2)+4 y2=4x

?k2x2+(8k-4k2-4)x+4k2-16k+16，x₁+x₂=

4k2-8k+4

k2

，x1•x2=

4k2-16k+16

k2

，代入上*式得

2

2-x

=

4- 4k2-8k+4 k2

4-2• 4k2-8k+4 k2 + 4k2-16k+16 k2

=

8k-4

8

=

2k-1

2

，
又k=

4-y

2-x

，得x-2y+2=0，
當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，也滿(mǎn)足上式．即點(diǎn)Q總過(guò)直線(xiàn)x-2y+2=0，得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定義法求軌跡方程，以及分析法證明不等式，做題時(shí)要認(rèn)真分析，找到各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系．