Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足6Sn＝＋3an＋2，且a1，a2，a6是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)記Tn＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，n∈N*，證明：3Tn＋1＝2bn＋1－an＋1(n∈N*)．

 

Answer 1

（1）an＝3n－2，bn＝4n－1（2）見解析

【解析】(1)∵6Sn＝＋3an＋2，①

∴6a1＝＋3a1＋2，解得a1＝1或a1＝2.

又6Sn－1＝＋3an－1＋2(n≥2)，②

由①－②，得6an＝(－)＋3(an－an－1)，即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.

∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．

當(dāng)a1＝2時(shí)，a2＝5，a6＝17，此時(shí)a1，a2，a6不成等比數(shù)列，∴a1≠2；

當(dāng)a1＝1時(shí)，a2＝4，a6＝16，此時(shí)a1，a2，a6成等比數(shù)列，∴a1＝1.

∴{an}是以1為首項(xiàng)3為公差的等差數(shù)列，{bn}是以1為首項(xiàng)4為公比的等比數(shù)列．

∴an＝3n－2，bn＝4n－1.

(2)由(1)得

Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③

∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41.④

由④－③，得

3Tn＝4n＋3×(4n－1＋4n－2＋…＋41)－(3n－2)＝4n＋12×－(3n－2)

＝2×4n－(3n＋1)－1＝2bn＋1－an＋1－1，

∴3Tn＋1＝2bn＋1－an＋1(n∈N*)．