Question

【題目】已知分別是焦距為的橢圓的左、右頂點(diǎn)， 為橢圓上非頂點(diǎn)的點(diǎn)，直線的斜率分別為，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線（與軸不重合）過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試求點(diǎn)的軌跡是否是垂直軸的直線，若是，則求出點(diǎn)的軌跡方程，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

(1)由題意可求得，則橢圓的方程為.

(2)由題意分類討論直線斜率存在和斜率不存在兩種情況可得點(diǎn)的軌跡方程為.

試題解析：

（1）設(shè)為橢圓上非頂點(diǎn)的點(diǎn)， ，又

，即，

，故橢圓的方程為.

（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，直線的方程是，直線的方程是，交點(diǎn)為.若，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為.

點(diǎn)在直線上，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

由得，

記，則.

的方程是的方程是，

由得，

即

.

綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為.