【題目】已知函數(shù)f(x)= (t+1)lnx,,其中t∈R.
(1)若t=1,求證:當(dāng)x>1時,f(x)>0成立;
(2)若t> ,判斷函數(shù)g(x)=x[f(x)+t+1]的零點的個數(shù).
【答案】(1)見解析(2)1
【解析】試題分析:(1)當(dāng)時,對求導(dǎo), 得增區(qū)間, 得減區(qū)間,進而求出函數(shù)的最小值值,即可證明;(2)若t> ,求得函數(shù)g(x)=x[f(x)+t+1]的導(dǎo)函數(shù),研究其單調(diào)性,根據(jù)零點定理再利用導(dǎo)數(shù)即可判定零點的個數(shù).
試題解析:解:(1)t=1時,f(x)=x﹣﹣2lnx,x>0
∴f′(x)=1+﹣==≥0,
∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(x)>f(1)=1﹣1﹣0=0,
∴x>1,f(x)>0成立,
(2)當(dāng)x∈(0,+∞),g(x)=tx2﹣(t+1)xlnx+(t+1)x﹣1
∴g′(x)=2tx﹣(t+1)lnx,
設(shè)m(x)=2tx﹣(t+1)lnx, ∴m′(x)=2t﹣=,
令m′(x)=0,得x=,
當(dāng)0<x<時,m'(x)<0;當(dāng)時x>,m'(x)>0.
∴g'(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.
∴g'(x)的最小值為g′()=(t+1)(1﹣ln),
∵t>,∴ =+<+<e.
∴g'(x)的最小值g′()=(t+1)(1﹣ln)>0,
從而,g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又g(1)=2t>0,又g()=+(6+2lnt)﹣1,
設(shè)h(t)=e3t﹣(2lnt+6).
則h′(t)=e3﹣.
令h'(t)=0得t=.由h'(t)<0,得0<t<;
由h'(t)>0,得t>.
∴h(t)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.
∴h(t)min=h()=2﹣2ln2>0.
∴h(t)>0恒成立.∴e3t>2lnt+6,.
∴g()<+﹣1=++﹣1<++﹣1<0.
∴當(dāng)t>時,函數(shù)g(x)恰有1個零點
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果店購進某種水果的成本為,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),這種水果在未來30天的銷售單價與時間之間的函數(shù)關(guān)系式為,銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系式為。
(Ⅰ)該水果店哪一天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
(Ⅱ)為響應(yīng)政府“精準(zhǔn)扶貧”號召,該店決定每銷售水果就捐贈元給“精準(zhǔn)扶貧”對象.欲使捐贈后不虧損,且利潤隨時間 的增大而增大,求捐贈額的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足(),且.
(1)求的解析式;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍(注:相等的實數(shù)根算一個).
(3)函數(shù),試問是否存在實數(shù),使得對任意, 都有成立,若存在,求出實數(shù)的取值范圍,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2015男籃亞錦賽決賽階段,中國男籃以9連勝的不敗戰(zhàn)績贏得第28屆亞錦賽冠軍,同時拿到亞洲唯一1張直通里約奧運會的入場券,賽后,中國男籃主力易建聯(lián)榮膺本屆亞錦賽(最有價值球員),下表是易建聯(lián)在這9場比賽中投籃的統(tǒng)計數(shù)據(jù).
注:(1)表中表示出手次命中次;
(2)(真實得分率)是衡量球員進攻的效率,其計算公式為:
(1)從上述9場比賽中隨機選擇一場,求易建聯(lián)在該場比賽中超過50%的概率;
(2)從上述9場比賽中隨機選擇一場,求易建聯(lián)在該場比賽中至少有一場超過60%的概率;
(3)用來表示易建聯(lián)某場的得分,用來表示中國隊該場的總分,畫出散點圖如圖所示,請根據(jù)散點圖判斷與之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系?結(jié)合實際簡單說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某射擊運動員每次擊中目標(biāo)的概率都是0.8.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次,至多擊中1次的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定0,1表示沒有擊中目標(biāo),2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo);因為射擊4次,故以每4個隨機數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):
5 727 0 293 7 140 9 857 0 347
4 373 8 636 9 647 1 417 4 698
0 371 6 233 2 616 8 045 6 011
3 661 9 597 7 424 6 710 4 281
據(jù)此估計,該射擊運動員射擊4次至多擊中1次的概率為( )
A. 0.95 B. 0.1
C. 0.15 D. 0.05
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x.
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-4,c]上的最小值為-5,求c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示沒有命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A. 0.35 B. 0.25
C. 0,20 D. 0.15
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個學(xué)生在一次競賽中要回答道題是這樣產(chǎn)生的:從道物理題中隨機抽取道;從道化學(xué)題中隨機抽取道;從道生物題中隨機抽取道.使用合適的方法確定這個學(xué)生所要回答的三門學(xué)科的題的序號(物理題的編號為,化學(xué)題的編號為,生物題的編號為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司試銷某種“上海世博會”紀(jì)念品,每件按30元銷售,可獲利50%,設(shè)每件紀(jì)念品的成本為a元.
(1)試求a的值;
(2)公司在試銷過程中進行了市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與每件售價x(元)滿足關(guān)系y=-10x+800.設(shè)每天銷售利潤為W(元),求每天銷售利潤W(元)與每件售價x(元)之間的函數(shù)解析式;當(dāng)每件售價為多少時,每天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?
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