【題目】定義在R上的函數(shù)f(x),f(0)≠0,f(1)=2,當(dāng)x>0,f(x)>1,且對任意a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).
(1)求證:對任意x∈R,都有f(x)>0;
(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)求不等式f(3﹣2x)>4的解集.

【答案】
(1)證明:令a=b=0,

則f(0)=f(0)f(0),又f(0)≠0,∴f(0)=1,

當(dāng)x<0時(shí),﹣x>0,∴f(﹣x)>1,

∵f(0)=f(x)f(﹣x)=1,

∴f(x)= ,

∵f(﹣x)>1,∴0< <1,即0<f(x)<1,

又當(dāng)x>0,f(x)>1; 且f(0)=1,

所以對任意x∈R,都有f(x)>0


(2)解:f(x)在R上是增函數(shù),

證明如下:設(shè)x1<x2,

則f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1),

∵x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>1,又f(x1)>0,

∴f(x2﹣x1)f(x1)>f(x1),

即f(x2)>f(x1),

∴f(x)在R上是增函數(shù)


(3)解:∵f(2)=f(1)f(1)=4,

∴f(3﹣2x)>4f(3﹣2x)>f(2),

∵f(x)在R上是增函數(shù),

∴3﹣2x>2,

解得x<

∴不等式f(3﹣2x)>4的解集為(﹣∞,


【解析】(1)先令a=b=0計(jì)算f(0)=1,當(dāng)x<0時(shí),f(x)= >0,從而得出結(jié)論;(2)設(shè)x1<x2 , 則f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)>f(x1),于是f(x)在R上是增函數(shù);(3)f(2)=4,利用函數(shù)的單調(diào)性得出3﹣2x>2,解出答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系式近似滿足P= ,商品的日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系式近似滿足Q=﹣t+40(1≤t≤30,t∈N).
(1)求這種商品日銷售金額y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求y的最大值,并指出日銷售金額最大的一天是30天中第幾天.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙、丙三名學(xué)生參加某電視臺舉辦的國學(xué)知識競賽,在本次競賽中只有過關(guān)和不過關(guān)兩種結(jié)果,假設(shè)甲、乙、丙競賽過關(guān)的概率分別為,且他們競賽過關(guān)與否互不影響.

(1)求在這次國學(xué)知識競賽中,甲、乙、丙三名學(xué)生至少有一名學(xué)生過關(guān)的概率;

(2)記在這次國學(xué)知識競賽中,甲、乙、丙三名學(xué)生過關(guān)的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某種水果的單個(gè)質(zhì)量在500g以上視為特等品.隨機(jī)抽取1000個(gè)該水果,結(jié)果有50個(gè)特等品.將這50個(gè)水果的質(zhì)量數(shù)據(jù)分組,得到下邊的頻率分布表.

1)估計(jì)該水果的質(zhì)量不少于560g的概率;

2)若在某批水果的檢測中,發(fā)現(xiàn)有15個(gè)特等品,據(jù)此估計(jì)該批水果中沒有達(dá)到特等品的個(gè)數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知全集U=R,集合A={x|x<﹣4,或x>2},B={x|﹣1≤2x1﹣2≤6}.
(1)求A∩B、(UA)∪(UB);
(2)若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) .

(1)若曲線處的切線互相平行,求的值;

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某大學(xué)自主招生考試中,所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試,成績分為A,B,C,D,E五個(gè)等級.某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示,其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績等級為B的考生有10人.

(1)求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績等級為A的人數(shù);

(2)已知參加本考場測試的考生中,恰有2人的兩科成績等級均為A.在至少一科成績等級為A的考生中,隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談,求這2人的兩科成績等級均為A的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為常數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行

1的值;

2的單調(diào)區(qū)間;

3設(shè),其中的導(dǎo)函數(shù)證明:對任意,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍;

(3)求證:當(dāng)時(shí), .

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案