【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn)，稱的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出四個(gè)命題，正確的是________.

①對任意三點(diǎn)、、，都有；

② 到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形；

③ 已知點(diǎn)和直線，則；

④ 定點(diǎn)、，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有個(gè)公共點(diǎn).

【答案】①②③④

【解析】

①討論、、三點(diǎn)共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；

②運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；

③設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且點(diǎn)，可得，討論和的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；

④討論點(diǎn)在坐標(biāo)軸上和各個(gè)象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷.

①對任意三點(diǎn)、、，若它們共線，設(shè)、、，

如下圖，結(jié)合三角形相似可得或，或，或，則；

若、或、對調(diào)，可得；

若、、不共線，且中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，

；

則對任意的三點(diǎn)、、，都有，命題①正確；

②到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)，即為，若，則；

若，則，故所求軌跡是正方形，命題②正確；

③設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，

由，解得，即有.

當(dāng)時(shí)，取得最小值；

由，解得或，即有，

的取值范圍是，無最值，

所以，、兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為，命題③正確；

④定點(diǎn)、，動點(diǎn)，滿足，

可得不在上，在線段間成立，可得，解得.

由對稱性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿足條件；

若在第一象限內(nèi)，滿足，即為，為射線，

由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，

則點(diǎn)的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有個(gè)公共點(diǎn)，命題④正確.

故答案為：①②③④.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn)．

（1）證明：平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且，求點(diǎn)C到平面POM的距離．

（3）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的. [附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.]

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度;

（2）試估計(jì)該公司投入萬元廣告費(fèi)用之后，對應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);

（3）該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請將（2）的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)為等差數(shù)列的公差，數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足（），且，若實(shí)數(shù)（，），則稱具有性質(zhì).

（1）請判斷、是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若是單調(diào)遞增數(shù)列，求證：對任意的（，），實(shí)數(shù)都不具有性質(zhì)；

（3）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意的，都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，，，動點(diǎn)滿足：直線與直線的斜率之積恒為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)位于第一象限，過點(diǎn)，分別作直線，直線，直線，交于點(diǎn).

①若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②直線與曲線交于點(diǎn)，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；

（3）求函數(shù)的對稱中心，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，有下列五個(gè)命題：

①若存在反函數(shù)，且與反函數(shù)圖象有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)一定在直線上；

②若在上有定義，則一定是偶函數(shù)；

③若是偶函數(shù)，且有解，則解的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；

④若是函數(shù)的周期，則，也是函數(shù)的周期；

⑤是函數(shù)為奇函數(shù)的充分不必要條件。

從中任意抽取一個(gè)，恰好是真命題的概率為 （ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足；

（1）當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，求的值域；

（2）求函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)的定義域；

（3）在（2）的結(jié)論中，對任意，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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