Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax³+bx+c（a，b，c∈R），若函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時取得極值
（1）求a，b
（2）當(dāng)x∈[-2，6]時，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時取極值，∴-1，3是方程3x²-2ax+b=0的兩根，
∴，∴
（2）f（x）=x³-3x²-9x+c，f′（x）=3x²-6x-9，當(dāng)x變化時，有下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	Max c+5	↘	Min c-27	↗

而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]時f（x）的最大值為c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
當(dāng)c≥0時，c+54＜2c，∴c＞54，當(dāng)c＜0時，c+54＜-2c，∴c＜-18
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x²-2ax+b，利用函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時取得極值，可求a，b；
（2）當(dāng)x∈[-2，6]時，f（x）＜2|c|恒成立，即轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值小于2|c|即可．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值，利用最值解決恒成立問題，要注意常規(guī)方法．