Question

如圖，F是拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，Q是準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)Q.

（1）直線l與拋物線有唯一公共點(diǎn)，求l的方程；

（2）直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn).

(ⅰ)記FA、FB的斜率分別為k₁、k₂，求k₁+k₂的值為;

(ⅱ)若點(diǎn)R在線段AB上，且滿足，求點(diǎn)R的軌跡方程.

Answer 1

解法一：依題意Q（-1，0），顯然直線l的斜率存在.設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=k(x+1).代入拋物線方程得k²x²+(2k²-4)x+k²=0.                                                ?

（1）若k≠0,令Δ=（2k²-4）²-4k⁴=0,得k=±1，?

此時(shí)l的方程為y=±(x+1),?

即y=x+1，或y=-x-1.                                                                                               ?

若k=0，方程有唯一解，?

此時(shí)直線l與拋物線有唯一公共點(diǎn)，其方程為y=0.綜上，所求直線l的方程為y=0,或y=x+1,或y=-x-1.                                                                                                          

?

（2）顯然k≠0，記A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),?

則x₁+x₂=,x₁x₂=1.?

∴y₁+y₂=k(x₁+x₂+2)=,y₁y₂=k²(x₁x₂+x₁+x₂+1)=4,                                                      ?

（ⅰ）k₁+k₂=+==,?

∵x₁x₂=1,∴k₁+k₂=0.                                                                                                ?

（ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為R（x,y）,?

∵,∴=.∴y=.                                                   ?

∴y==2k.∴x=y-1=2-1=1.                                                                                 ?

令Δ=(2k²-4)²-4k⁴=16-16k²＞0,?

∴-1＜k＜1.又∵k≠0,∴y∈(-2,0)∪(0,2).?

綜上，點(diǎn)Q的軌跡方程為x=1,y∈（-2，0）∪（0，2）.                                        

解法二：（1）當(dāng)y≥0時(shí),y=2,y′=.                                                           ?

當(dāng)l與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)P(x₀,y₀)為唯一公共點(diǎn)，y₀=2.?

因?yàn)榍芯�y-y₀=(x-x₀)過點(diǎn)Q（-1，0），所以-y₀=(-1-x₀).?

解得x₀=1,y₀=2,切線方程為y=x+1.?

同理求得另一條切線方程為y=-x-1.                                                                         ?

又當(dāng)直線方程為y=0時(shí)，l與拋物線有唯一公共點(diǎn).?

因此，所求直線l的方程為y=0,或y=x+1，或y=-x-1.                                               ?

（2）因?yàn)橹本�l過Q點(diǎn)與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)方程為x=ty-1.?

代入拋物線方程得y²-4ty+4=0.?

記A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則y₁+y₂=4t,y₁y₂=4.                                                                     ?

(ⅰ)k₁+k₂=+?

===0,?

即k₁+k₂=0;                                                                                                            

(ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為R(x,y).

∵,∴=.∴y=.                                                   ?

∴y==T.∴x=ty-1=2-1=1.                                                                                ?

令Δ=16t²-16＞0,得t＜-1,或t＞1,?

∴y∈(-2,0)∪(0,2).?

所以點(diǎn)Q的軌跡方程為x=1,y∈（-2，0）∪（0，2）.