Question

【題目】設(shè)是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和，給出如下兩個(gè)命題上：命題p：是等差數(shù)列；命題q：等式對任意恒成立，其中k，b是常數(shù).

（1）若p是q的充分條件，求k，b的值；

（2）對于（1）中的k與b，問p是否為q的必要條件，請說明理由；

（3）若p為真命題，對于給定的正整數(shù)n和正數(shù)M，數(shù)列滿足條件，試求 的最大值.

Answer 1

【答案】（1），,（2）必要條件,理由見解析，（3）

【解析】

（1）當(dāng)是等差數(shù)列時(shí)，利用裂項(xiàng)求和的方法求得等式左邊表達(dá)式的和，化簡得對于恒成立，由此求得.

（2）當(dāng)時(shí)，等式為.利用退作差法，證得數(shù)列為等差數(shù)列，由此證得是的必要條件.

（3）利用三角換元的方法，將表示三角函數(shù)的形式，結(jié)合柯西不等式和不等式的性質(zhì)，求得的最大值.

（1）設(shè)的公差為d，則原等式可化為

，

所以，

即對于恒成立，

所以，.

（2）當(dāng)，時(shí)，假設(shè)p是q的必要條件，即

“若①對于任意的恒成立，則為等差數(shù)列”.

當(dāng)時(shí)，顯然成立.

當(dāng)時(shí)，若②，

由①﹣②得，，

即③.

當(dāng)時(shí)，，即、、成等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，④，

即.所以為等差數(shù)列，即p是q的必要條件.

（3）由，可設(shè)，所以.

設(shè)的公差為d，則，

所以，

所以，

，

所以的最大值為.