設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且bn=2-2Sn;數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a5=14,a7=20.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)若cn=an•bn(n=1,2,3…),Tn為數(shù)列{cn}的前n項和.求Tn
分析:(1)由已知條件bn=2-2Sn;當n=1時先求出b1=
2
3
,再利用bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn
bn
bn-1
=
1
3
得到{bn}是以b1=
2
3
為首項,
1
3
為公比的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的通項公式求出通項.
(2)求出cn=anbn=2(3n-1)•
1
3n
,是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積,所以利用錯位相減的方法求出和.
解答:解:(1)由bn=2-2Sn,令n=1,則b1=2-2S1,又S1=b1
所以b1=
2
3
…(2分)
當n≥2時,由bn=2-2Sn,可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn
bn
bn-1
=
1
3
…(4分)
所以{bn}是以b1=
2
3
為首項,
1
3
為公比的等比數(shù)列,
于是bn=2•
1
3n
…(6分)
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差d=
1
2
(a7-a5)=3
,可得an=3n-1…(7分)
從而cn=anbn=2(3n-1)•
1
3n

Tn=2[2•
1
3
+5•
1
32
+8•
1
33
+…+(3n-1)•
1
3n
]
,
1
3
Tn=2[2•
1
32
+5•
1
33
+…+(3n-4)•
1
3n
+(3n-1)•
1
3n+1
]
2
3
Tn=2[2•
1
3
+3•
1
32
+3•
1
33
+…+3•
1
3n
-(3n-1)
1
3n+1
]
…(11分)Tn=
7
2
-
1
2•3n-2
-
3n-1
3n
.…(12分)
點評:求一個數(shù)列的前n項和,應該先求出數(shù)列的通項,根據(jù)通項的特點選擇合適的求和方法.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為其前n項和,對于任意n∈N*,總有an,Sn,an2成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且bn=
lnnx
a
2
n
,求證:對任意實數(shù)x∈(1,e](e是常數(shù),e=2.71828…)和任意正整數(shù)n,總有Tn<2;
(3)正數(shù)數(shù)列{cn}中,an+1=(cnn+1(n∈N*),求數(shù)列{cn}中的最大項.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數(shù)n,都有an=5Sn+1成立,記bn=
4+an
1-an
 (n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)記cn=b2n-b2n-1 (n∈N*),設數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:對任意正整數(shù)n都有Tn
3
2
;
(3)設數(shù)列{bn}的前n項和為Rn,是否存在正整數(shù)k,使得Rk≥4k成立?若存在,找出一個正整數(shù)k;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn為其前n項和,對于任意的n∈N*,總有an,Sn,an2成等差數(shù)列.
(1)求a1;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且bn=
1an2
,求證:對任意正整n,總有Tn<2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列a1=1,an+1=an2+4an+2,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)設bn=
1
an+1
+
1
an+3
,設數(shù)列{bn}的前n項的和Sn.試證明:Sn<1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•重慶三模)已知函數(shù)f(x)=
x
1-x
,若數(shù)列{an}滿足an=f(an+1)(n∈N*),且a1=1

(I)求證:數(shù)列{
1
an
}
是等差數(shù)列;
(II)令bn=anan+1(n∈N*),設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求使得Sn
9
10
成立的n的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案