Question

一水渠的橫截面如圖甲所示，它的橫截面曲線是拋物線形，AB寬2米，渠OC深為1.5米，水面EF距AB為0.5米．

　　(1)求截面圖中水面寬度；

　　(2)如果把此水渠改造成橫截面是等腰梯形，要求渠深不變，不準(zhǔn)往回填土，只準(zhǔn)挖土，試求截面梯形的下底邊長為多大時(shí)，才能使所挖的土最少？

 

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)建立直角坐標(biāo)系，易求得拋物線方程為 　　x2=，∴　水面寬EF=米 　　(2)如圖13-4乙所示，設(shè)拋物線上一點(diǎn)M(t，)(t＞0)，因改造后水渠只準(zhǔn)挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿過點(diǎn)M與拋物線相切的切線挖土． 　　由y=x2-，求導(dǎo)得y′=3x 　　所以過點(diǎn)M的切線斜率為3t 　　切線方程為y-()=3t(x-t) 　　令y=0，則x1=，令y=-，則x2= 　　故截面梯形面積為 　　S=(2x1+2x2)·=(+t)≥ 　　當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)所挖土最少，此時(shí)下底寬為．