Question

【題目】已知 是數(shù)列 的前 項和，并且 ，對任意正整數(shù) ， ，設(shè) （ ）.
（1）證明：數(shù)列 是等比數(shù)列，并求 的通項公式；
（2）設(shè) ，求證：數(shù)列 不可能為等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Sn+1=4an+2，∴Sn=4an-1+2(n≥2)，
兩式相減：an+1=4an-4an-1(n≥2)，∴an+1=4(an-an-1)(n≥2)，
∴bn=an+1-2an ，
∴bn+1=an+2-2an+1=4(an+1-an)-2an+1 ， bn+1=2(an+1-2an)=2bn(n∈N*)，
∴ ，∴{bn}是以2為公比的等比數(shù)列，
∵b1=a2-2a1 ， 而a1+a2=4a1+2，∴a2=3a1+2=5，b1=5-2=3，
∴bn=32n-1(n∈N*)
（2）解：) ，假設(shè) 為等比數(shù)列，則有
= , n≥2, 則有 =0
與 ≥1矛盾，所以假設(shè)不成立，則原結(jié)論成立，即
數(shù)列 不可能為等比數(shù)列
【解析】（1）根據(jù)給出的遞推式可得到數(shù)列各項之間的關(guān)系，代入后可得到與的關(guān)系進而求出公比。分別另n=1，2后可求出的首項，即可求出的通項公式。
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論易得的通項，根據(jù)化簡后得到,，顯然不成立，故數(shù)列不可能為等比數(shù)列。