Question

設(shè)z＝2x－y式中變量x、y滿足下列條件求z的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖所示由約束條件作出可行域： 　　過原點(diǎn)O(0，0)作直線l0：2x－y＝0，正法向量為n＝(2，－1)，當(dāng)直線2x－y＝t沿著正法向量方向平行移動時，t的值就逐漸增大；當(dāng)直線2x－y＝t通過與可行域的公共點(diǎn)C(5，2)時，使目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y取得最大值為：zmax＝2×5＝2＝8；當(dāng)直線2x－y＝t沿著負(fù)法向量方向平行移動時，t的值就逐漸減小，當(dāng)直線2x－y＝t通過與可行域的公共點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y取得最小值為： 　　 　　本題若用課本提供的方法，用縱截距來做易出錯．這是因?yàn)橛蓏＝2x－y得y＝2x－z相比此處z為直線l∶y＝2x－z的縱截距的相反數(shù)，故欲求z的最大值與最小值，需先求出直線系y＝2x＋t中與可行域有公共點(diǎn)的直線的縱截距的最小值與最大值，這樣一正一反，概念容易混淆而出差錯，而用按正法向量方向取最值不會出差錯．為了避免這種差錯，可以用橫截距來做．由z＝2x－y得x－ 　　通過以上例題的解法不難看出用正法向量方法解題比較簡單，容易掌握且不易出錯． 　　下面就用正法向量的方法解簡單線性規(guī)劃問題作一個說明． 　　求x、y滿足下列約束條件的目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by的最大值與最小值： 　　 　　我們用符號K表示可行域(為便于說明僅假設(shè)可行域是有界的凸多邊形)，現(xiàn)在的問題是在可行域K中找一點(diǎn)(x0，y0)，使ax0＋by0達(dá)到最大(或最小)．設(shè)ax＋by＝t(把t作為參數(shù))是表示平行直線系．在K中任取一點(diǎn)(x0，y0)，使得ax0＋by0＝t就表示平行直線系中通過(x0，y0)的一條直線，而坐標(biāo)原點(diǎn)到這直線的距離為，這說明把點(diǎn)(x0，y0)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)的絕對值正好是坐標(biāo)原點(diǎn)到這條直線距離的．所以我們要在可行域K中找一點(diǎn)(x0，y0)，使ax0＋by0達(dá)到最大(或最小)就轉(zhuǎn)化為在直線系ax＋by＝t中找一條直線，使得這條直線通過可行域中的某一點(diǎn)且這條直線找到原點(diǎn)的距離最大(或最小)．怎樣尋找這條直線呢？ 　　先作l0：ax＋by＝0． 　　(1)若l0與K無交點(diǎn)，則讓直線系ax＋by＝t沿著正法向量方向從l0平行移動到與K有交點(diǎn)，如圖，這時t為正且逐漸增大，移動到剛開始進(jìn)入K且與K相交的那種點(diǎn)，這時原點(diǎn)到這直線的距離達(dá)到最小，即目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by達(dá)到最小值zmin＝ax0＋by0；繼續(xù)移動到剛開始要離開K但仍與K相交的那種點(diǎn)，這時原點(diǎn)到這直線的距離達(dá)到最大，即目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by達(dá)到最大值zmax＝ax0＋by0．反之，如果讓直線系ax＋by＝t沿著負(fù)法向量的方向從l0平行移動到與K剛有交點(diǎn)． 　　如圖所示，因?yàn)檫@時t為負(fù)且逐漸減小，移動到剛開始進(jìn)入K且與K相交的那種點(diǎn)，這時原點(diǎn)到直線的距離達(dá)到最小，因t為負(fù)，此時目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值zmax＝ax0＋by0，移動到剛開始要離開K但仍與K相交的那種點(diǎn)時，此時直線到原點(diǎn)的距離最大，而目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值zmin＝ax0＋by0． 　　(2)若l0與K有交點(diǎn)，如圖，則直線系從l0開始沿正法向量方向平行移動的為最大值，沿負(fù)法向量方向平行移動的為最小值． 　　由此可知，用目標(biāo)函數(shù)的法向量的觀點(diǎn)來求最優(yōu)解，方法統(tǒng)一容易理解，操作方便且不易出錯，是提高能力的較好方法．讀者不妨試一試．