Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)依次在處取到極值.
①求的取值范圍；
②若，求的值.
（2）若存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù) 的最大值

Answer 1

（1）①     ②
（2）的最大值為5

(1)①由題意可知方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
然后再構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像特征，根據(jù)其極值和g(x)有三個(gè)零點(diǎn)建立關(guān)于t的不等式，求出t的取值范圍.
②,

然后根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等建立關(guān)于a,b,c,t的方程，求出a,b,c,t的值.
(1)   解決本小題的關(guān)鍵是做好幾個(gè)轉(zhuǎn)化：不等式 ，即，
即.轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式恒成立.即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.然后構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值即可.
解：（1）①


…………5分
②

,……10分
（2）不等式 ，即，即.
轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.
設(shè)，則.
設(shè)，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823224100987498.png" style="vertical-align:middle;" />，有.
故在區(qū)間上是減函數(shù).又
故存在，使得.
當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有.
從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.
又

所以當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有；
故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5.