【題目】已知橢圓的焦點和長軸長.

（1）設直線交橢圓于兩點，求線段的中點坐標.

（2）求過點的直線被橢圓所截弦的中點的軌跡方程.

【答案】（1）（2），其中

【解析】

（1）根據(jù)焦點坐標得出橢圓的焦點在x軸上，由橢圓的焦點坐標得出c的值，再由長軸的值求出a的值，進而利用橢圓的性質求出b的值，確定出橢圓的標準方程，與直線y＝x+2聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，設出兩交點A與B的坐標，利用根與系數(shù)的關系求出兩根之和，即為兩交點橫坐標之和，利用中點坐標公式即可求出AB中點M的橫坐標，代入直線方程可得M的縱坐標，進而確定出線段AB的中點坐標；

（2）設過點（0，2）的直線方程的斜率為k，表示出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，由直線與橢圓有兩個不同的交點，得到根的判別式大于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，設出直線與橢圓的兩交點坐標，利用韋達定理表示出兩交點橫坐標之和，利用中點坐標公式表示出線段AB中點C的橫坐標，代入直線方程可得C的縱坐標，消去參數(shù)k即可得到所求的軌跡方程．

（1）由已知條件得橢圓的焦點在x軸上，其中，從而，

所以其標準方程是:

聯(lián)立方程組，消去得,

設線段中點為

那么

所以

也就是說線段中點坐標為

（2）設直線方程為

把它代入

整理得:

要使直線和橢圓有兩個不同交點，則，即

設直線與橢圓兩個交點為

中點坐標為，則

從參數(shù)方程，

消去得：，且

綜上，所求軌跡方程為，其中

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

1當時，求不等式的解集；

2若關于x的不等式有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】鄭汴一體化是依托鄭州省會城市資源優(yōu)勢發(fā)展開封的省級戰(zhàn)略，實施至今，取得了一系列的成就：兩城電信同價，金融同城，鄭開大道全線貫通，城際列車實常態(tài)化運營．隨著鄭汴一體化的深入推進，很多人認為鄭州開封未來有望合并．為了解市民對鄭汴合并的態(tài)度，現(xiàn)隨機抽查55人，結果按年齡分類統(tǒng)計形成如下表格：

支持

反對

合計

不足35歲

20

35歲以上

30

合計

25

55

（1）請完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為市民對鄭汴合并的態(tài)度與年齡有關？

（2）在上述樣木中用分層抽樣的方法，從攴持鄭汴合并的兩組市民中隨機抽取6人作進一步調查，從這6人中任選2人，求恰有1位“不足35歲”的市民和1位“35歲及以上”的市民的概率．

附：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.814

5.024

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的焦距為，點在橢圓上，且的最小值是（為坐標原點）.

（1）求橢圓的標準方程.

（2）已知動直線與圓：相切，且與橢圓交于，兩點.是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，橢圓離心率為，、是橢圓C的短軸端點，且到焦點的距離為，點M在橢圓C上運動，且點M不與、重合，點N滿足．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐，是梯形，，，，，．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（是的導函數(shù)），在上的最大值為.

（1）求實數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)在內的極值點個數(shù)，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中，錯誤命題是

A. “若，則”的逆命題為真

B. 線性回歸直線必過樣本點的中心

C. 在平面直角坐標系中到點和的距離的和為的點的軌跡為橢圓

D. 在銳角中，有

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的右頂點為，上頂點為．已知橢圓的離心率為，.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設直線：與橢圓交于，兩點，且點在第二象限.與延長線交于點，若的面積是面積的3倍，求的值.

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