Question

已知四棱錐P－ABCD的三視圖和直觀圖如下：

(1)求四棱錐P－ABCD的體積；
(2) 若E是側棱PC上的動點，是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結論．
(3) 若F是側棱PA上的動點，證明：不論點F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD。

Answer 1

(1) (2)不論點E在何位置，都有BD⊥AE成立(3) 假設BF⊥平面PAD，這與Rt△PAD中∠PDA為銳角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD

試題分析：(1)由三視圖可知，四棱錐中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PC＝2，∴V_P－ABCD＝·PC·S_底＝×2×1＝.   3分
(2)不論點E在何位置，都有BD⊥AE成立．   4分
連接AC，∵BD⊥AC，BD⊥PC，且∴BD⊥平面PAC，   7分
當E在PC上運動時，，∴BD⊥AE恒成立．   8分
（3）用反證法：假設BF⊥平面PAD，  9分

又  11分
 ， 12分這與Rt△PAD中∠PDA為銳角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD  13分
點評：椎體體積公式，本題中在求解第二問第三問時還可通過空間向量的方法求解，根據(jù)已知條件可建立以點為原點，為坐標軸的坐標系，通過直線的方向向量與平面的法向量判定線面位置關系