Question

【題目】已知在上的函數(shù), ，

其中,設(shè)兩曲線有公共點，且在公共點處的切線相同．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）用表示，并求的最大值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）, 的最大值為.

【解析】試題分析：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x0，y0）處的切線相同，先利用導數(shù)求出在切點處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值；
（2）利用（1）類似的方法，利用a的表達式來表示b，然后利用導數(shù)來研究b的最大值，研究此函數(shù)的最值問題，先求出函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出最大值與最小值即得．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點處的切線相同,由題意知 ，

∴由得， 或（舍去）,即有

（Ⅱ）設(shè)y=f(x)與y=g(x) (x>0)在公共點處的切線相同 ,由題意知，

∴由得， 或（舍去）

即有, 令 (t>0)，

則，于是當2t(1-3lnt)>0，即時， ；

當2t(1-3lnt)<0，即時， ，故h(t)在的最大值為，

故的最大值為.