Question

如圖所示，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上異于A、B的任意一點，AN⊥PM，點N為垂足，求證：AN⊥平面PBM．

Answer 1

分析：由圓周角定理可得AM⊥BM，由線面垂直的性質，可得PA⊥BM，進而由線面垂直的判定定理可得BM⊥平面PAM，得到AN⊥BM，
結合面面垂直的判定定理可得AN⊥平面PBM．

解答：證明：∵AB是圓的直徑，M是圓周上異于A、B的任意一點，
∴AM⊥BM，
∵PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，
∴PA⊥BM．
又∵PA∩AM=A，PA?平面PAM，AC?平面PAM，
∴BM⊥平面PAM，
又∵AN?平面PAM，
∴AN⊥BM，
又∵AN⊥PM，BM∩PM=M．
∴AN⊥平面PBM．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，其中熟練掌握空間線線垂直，線面垂直，面面垂直的相互轉化是解答的關鍵．