Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+asinx+

a2+b-1

a

．
（Ⅰ）設(shè)a＞0，b=

5

3

，求證：f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f(x)=sin2x+asinx+

a2+b-1

a

．結(jié)合a＞0，b=

5

3

，我們可以求出f(

π

6

)的表達(dá)式，然后利用基本不等式即可求出f(

π

6

)的值的范圍，進(jìn)而得到答案；
（II）將b=-2代入，我們可利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)在定區(qū)間上的值域，及f（x）的最大值大于6構(gòu)造一個關(guān)于a的不等式，分類討論后，即可得到滿足條件的a的取值范圍；
（III）當(dāng)t=sinx，利用換元法，我們可以將若存在x∈R，f（x）≤0，轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)使一個關(guān)于t的二次不等式成立，利用對應(yīng)的二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b=

5

3

∴f(

π

6

)=sin2

π

6

+asin

π

6

+

a2+ 5 3 -1

a

=

3a

2

+

2

3a

+

1

4

≥2

3a 2 * 2 3a

+

1

4

=

9

4

即f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）∵b=-2，∴f(x)=sin2x+asinx+a-

3

a

，設(shè)t=sinx，令g(t)=t2+at+a-

3

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a-

3

a

(-1≤t≤1)
當(dāng)-

a

2

＜0時，h(a)=g(1)；當(dāng)-

a

2

＞0時，h(a)=g(-1)；

h(a)=

1+2a- 3 a (a＞0) 1- 3 a (a＜0)

解得a的取值范圍是(-

3

5

，0)∪(3，+∞)
（Ⅲ）設(shè)t=sinx，令?(t)=t2+at+a+

b-1

a

，
∴φ(t)的圖象的對稱軸t=-

a

2

≤-1，
設(shè)t=sinx，令φ（t）=t2+at+a+

b-1

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a+

b-1

a

(-1≤t≤1)
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法，其中利用換元法將已知中的函數(shù)及不等式轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)及二次不等式是解答本題的關(guān)鍵．