設(shè)函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時,求f(x)的最大值;
(Ⅱ)令,(0<x≤3),其圖象上任意一點(diǎn)P(x,y)處切線的斜率k≤恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)a=0,b=-1,方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,求正數(shù)m的值.
【答案】分析:(I)函數(shù)的定義域是(0,+∞),把代入函數(shù)解析式,求其導(dǎo)數(shù),根據(jù)求解目標(biāo),這個導(dǎo)數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)只有一個等于零的點(diǎn),判斷這唯一的極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)即可;
(II)即函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)在(0,3]小于或者等于恒成立,分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值;
(III)研究函數(shù)是單調(diào)性得到函數(shù)的極值點(diǎn),根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢,判斷何時方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,得到m所滿足的方程,解方程求解m.
解答:解:(I)依題意,知f(x)的定義域為(0,+∞),當(dāng)時,,(2′)
令f'(x)=0,解得x=1.(∵x>0)
因為g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0,當(dāng)0<x<1時,f'(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時,f'(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減.
所以f(x)的極大值為,此即為最大值…(4分)
(II),x∈(0,3],則有,在x∈(0,3]上恒成立,
所以a≥,x∈(0,3],
當(dāng)x=1時,取得最大值,
所以a≥…(8分)
(III)因為方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解,
設(shè)g(x)=x2-2mlnx-2mx,則
令g'(x)=0,x2-mx-m=0.因為m>0,x>0,
所以(舍去),,
當(dāng)x∈(0,x2)時,g'(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(x2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)單調(diào)遞增
當(dāng)x=x2時,g'(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).(12′)

所以2mlnx2+mx2-m=0,因為m>0,所以2lnx2+x2-1=0(*)
設(shè)函數(shù)h(x)=2lnx+x-1,因為當(dāng)x>0時,h(x)是增函數(shù),所以h(x)=0至多有一解.
因為h(1)=0,所以方程(*)的解為x2=1,即,解得.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)、研究不等式和方程問題中的綜合運(yùn)用,試題的難度不大,但考查點(diǎn)極為全面.本題的難點(diǎn)是第三問中方程解的研究,當(dāng)函數(shù)具有極值點(diǎn)時,在這個極值點(diǎn)左右兩側(cè),函數(shù)的單調(diào)性是不同的,這樣就可以根據(jù)極值的大小,結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢確定方程解的個數(shù),如本題中函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的極值點(diǎn),而且是極小值點(diǎn),也就是最小值點(diǎn),如果這個最小值小于零,函數(shù)就出現(xiàn)兩個零點(diǎn),方程就有兩個不同的實數(shù)解,只有當(dāng)這個最小值等于零時,方程才有一個實數(shù)解,而最小值等于零的這個極小值點(diǎn)x滿足在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零,函數(shù)值也等于零,即我們的解析中的方程組,由這個方程組求解m使用了構(gòu)造函數(shù)通過函數(shù)的性質(zhì)得到x2的方法也是值得仔細(xì)體會的技巧.
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(12分)(理)設(shè)函數(shù),其中。

(Ⅰ)當(dāng)時,求不等式的解集;

(Ⅱ)若不等式的解集為 ,求a的值。

 

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