Question

下列命題：
①函數(shù)y=sinx在第一象限是增函數(shù)；
②函數(shù)y=|cosx+

1

2

|的最小正周期是π；
③函數(shù)y=tn

x

2

x的圖象的對(duì)稱中心是（kπ，0），k∈Z；
④函數(shù)y=ln（1+2cos2x）的遞減區(qū)間是[kπ，kπ+

π

4

），k∈Z；
⑤函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象可由函數(shù)y=3sin2x的圖象向右平移

π

3

平移得到．
其中正確的命題序號(hào)是

③

．

Answer 1

分析：通過(guò)舉反例可得①不正確；利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得②不正確；
根據(jù)y=tanx的圖象的對(duì)稱中心是（

kπ

2

，0），k∈Z，可得③正確；
對(duì)于④：利用直接法求解．為了求函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，必須考慮到1+2cos2x＞0并且使得內(nèi)函數(shù)u=1+2cos2x是減函數(shù)才行，據(jù)此即可求得單調(diào)區(qū)間，從而進(jìn)行判斷；
根據(jù)利用左加右減上加下減的平移原則，直接求出函數(shù)y=3sin2x的圖象經(jīng)過(guò)平移而得到，函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象的方法，可得⑤不正確．

解答：解：由于390°＞30°，且都是第一象限角，sin390°=sin30°=

1

2

，
故函數(shù)y=sinx在第一象限不是增函數(shù)，故①不正確．
函數(shù)y=|cosx+

1

2

|的圖象如下，故函數(shù)y=|cosx+

1

2

|的周期為2π，故②不正確；

對(duì)于③：由于函數(shù)y=tanx的圖象的對(duì)稱中心是（

kπ

2

，0），k∈Z，
令

x

2

=

kπ

2

，∴x=kπ，故函數(shù)y=tan

x

2

的圖象的對(duì)稱中心是（kπ，0），k∈Z，正確．
④∵1+2cos2x＞0且使得函數(shù)u=1+2cos2x是減函數(shù)，
∴2kπ≤2x＜

2π

3

+2kπ（k∈Z）⇒kπ≤x＜

π

3

+kπ，
故函數(shù)y=ln（1+2cos2x）的遞減區(qū)間是[kπ，kπ+

π

3

），k∈Z，④不正確．
⑤：函數(shù)y=3sin2x的圖象經(jīng)過(guò)向左平移

π

6

，而得到函數(shù)y=3sin[2（x+

π

6

）]=3sin（2x+

π

3

），就是函數(shù)y=3sin（2x+

π

3

）的圖象，故⑤不正確．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，通過(guò)給變量取特殊值，舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法．