Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1交于A、B兩點，
（1）若以AB線段為直徑的圓過坐標原點，求實數(shù)a的值．
（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使A、B兩點關(guān)于直線y=

1

2

x對稱？說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立方程

3x2-y2=1 y=ax+1

，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入直線y=ax+1可求y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1），由題意可得，

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入可求a的值．
（2）假定存在這樣的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=

1

2

x對稱．則由

3x12-y12=1 3x22-y22=1

，兩式相減得：3（x₁²-x₂²）=y₁²-y₂²，由題意可知

y1+y2 2 =  1 2 × x1+x2 2 y1-y2 x1-x2 = -2

，整理可求

解答：解：（1）聯(lián)立方程

3x2-y2=1 y=ax+1

，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0．…（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么：

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2=- 2 3-a2 △=(2a)2+8(3-a2)＞0

…（4分）
由于以AB線段為直徑的圓經(jīng)過原點，那么：

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
所以：x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
∴(a2+1)×

-2

3-a2

+a×

2a

3-a2

+1=0，a2＜6，
∴-2（a²+1）+2a²+3-a²=0
即a²=1
解得a=±1…（6分）
（2）假定存在這樣的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=

1

2

x對稱．…（8分）
那么：

3x12-y12=1 3x22-y22=1

，兩式相減得：3（x₁²-x₂²）=y₁²-y₂²，從而

y1-y2

x1-x2

=

3(x1+x2)

y1+y2

…(*)
因為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=

1

2

x對稱，所以

y1+y2 2 =  1 2 × x1+x2 2 y1-y2 x1-x2 = -2

代入（*）式得到：-2=6，矛盾．
也就是說：不存在這樣的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=

1

2

x對稱．…（12分）

點評：本題主要考查了直線與雙曲線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，點關(guān)于直線對稱性質(zhì)的應(yīng)用，屬于綜合性試題