【答案】
分析:(1)由a
1 =S
1 求出首項 a
1 的值,當n≥2時,由a
n+S
n=2 ①,可得a
n-1+S
n-1=2 ②,相減可得 2a
n-a
n-1=0(n∈N,n≥2).判斷
,從而證得結論.
(2)若k=0,由(1)知,不符題意.若k=1,求得a
n=1(n∈N
*),此時f
1(n)=n+1.若k=2,同理求得a
n=2an-2a+1(n∈N
*),此時
.
當k≥3時,若數列{a
n}能成等差數列,則a
n+S
n的表達式中n的最高次數為2,故數列{a
n}不能成等差數列,綜上可得結論.
解答:(1)證明:∵k=0,則f
k(n)即f
(n)為常數,不妨設f
(n)=c(c為常數).
因為a
n+S
n=f
k(n)恒成立,所以a
1+S
1=c,即c=2a
1=2.
而且當n≥2時,由a
n+S
n=2 可得①a
n-1+S
n-1=2,②,把①-②可得 2a
n-a
n-1=0(n∈N,n≥2).
若a
n=0,則a
n-1=0,…,a
1=0,與已知矛盾,所以
.
故數列{a
n}是首項為1,公比為
的等比數列.
(2)解:(i) 若k=0,由(1)知,不符題意,舍去.
(ii) 若k=1,設f
1(n)=bn+c(b,c為常數),則 當n≥2時,由a
n+S
n=bn+c ③,可得a
n-1+S
n-1=b(n-1)+c.④
③-④得 2a
n-a
n-1=b(n∈N,n≥2).要使數列{a
n}是公差為d(d為常數)的等差數列,必須有a
n=b-d(常數),
而a
1=1,故{a
n}只能是常數數列,通項公式為a
n=1(n∈N
*),
故當k=1時,數列{a
n}能成等差數列,其通項公式為a
n=1(n∈N
*),此時f
1(n)=n+1.
(iii) 若k=2,設
(a≠0,a,b,c是常數),
當n≥2時,由
⑤,可得
⑥,
⑤-⑥得 2a
n-a
n-1=2an+b-a(n∈N,n≥2).
要使數列{a
n}是公差為d(d為常數)的等差數列,必須有a
n=2an+b-a-d,且d=2a,
考慮到a
1=1,所以a
n=1+(n-1)•2a=2an-2a+1(n∈N
*).
故當k=2時,數列{a
n}能成等差數列,其通項公式為a
n=2an-2a+1(n∈N
*),
此時
(a為非零常數).
(iv) 當k≥3時,若數列{a
n}能成等差數列,則a
n+S
n的表達式中n的最高次數為2,故數列{a
n}不能成等差數列.
綜上得,當且僅當k=1或2時,數列{a
n}能成等差數列.
點評:本題主要考查等比關系的確定,等差數列的通項公式的應用,數列的前n項和與第n項的關系,體現了分類討論的數學思想,屬于中檔題.