Question

已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),如果函數(shù)僅有一個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)當(dāng)時(shí),比較與1的大小.
(3)求證:

Answer 1

（1）
（2）①當(dāng)時(shí)，，即；
②當(dāng)時(shí)，，即；
③當(dāng)時(shí)，，即
（3）利用（2）的結(jié)論或數(shù)學(xué)歸納法證明

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是，     1分
，
令，得或．       2分
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．     4分
的極大值是，極小值是．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)僅有一個零點(diǎn)時(shí)，或．
∴的取值范圍是       5分
（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011816008533.png" style="vertical-align:middle;" />．
令，
，
在上是增函數(shù)．        7分
∵
∴①當(dāng)時(shí)，，即；
②當(dāng)時(shí)，，即；
③當(dāng)時(shí)，，即．     9分
（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，  
．     12分
，．      14分
(法二)①當(dāng)時(shí)，．
，，即時(shí)命題成立．      10分
②假設(shè)時(shí)，命題成立，即．
則當(dāng)時(shí)，
．
根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．
令，則有，
則有，即時(shí)命題也成立．   13分
因此，由①②知不等式成立．         14分
點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，要靈活運(yùn)用解決問題，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)要注意放縮不等式的應(yīng)用.