Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=-

1

2

a_n-

1

2

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

n

an+1

，證明：對于一切正整數(shù)n，不等式b₁×b₂×b₃×…×b_n＜2×n!恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由S_n=-

1

2

a_n-

1

2

①，知S_n-1=-

1

2

a_n-1-

1

2

（n≥2）②，兩式相減后整理后，易證數(shù)列{a_n}為以a₁=-

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=

n

an+1

=

n

1- 1 3n

（n∈N^*），可知b₁×b₂×b₃×…×b_n=

n!

(1- 1 3 )(1- 1 32 )(1- 1 33 )×…×(1- 1 3n )

，要證b₁×b₂×b₃×…×b_n＜2×n!，只要證（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）＞

1

2

，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：（1）由S_n=-

1

2

a_n-

1

2

①，
得S_n-1=-

1

2

a_n-1-

1

2

（n≥2）②，
由①-②，得a_n=-

1

2

a_n+

1

2

a_n-1，即3a_n=a_n-1（n≥2）．
由S₁=-

1

2

a₁-

1

2

，得a₁=-

1

3

，
∴數(shù)列{a_n}為以a₁=-

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
即a_n=-

1

3

•(

1

3

)n-1=-(

1

3

)n（n∈N^*）．
（2）證明：由
b_n=

n

an+1

=

n

1- 1 3n

（n∈N^*），
得：b₁×b₂×b₃×…×b_n=

1×2×3×…×n

(1- 1 3 )(1- 1 32 )(1- 1 33 )×…×(1- 1 3n )

=

n!

(1- 1 3 )(1- 1 32 )(1- 1 33 )×…×(1- 1 3n )

．
因此，要證b₁×b₂×b₃×…×b_n＜2×n!，
只要證（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）＞

1

2

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法先證明（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）（n∈N^*）．
①當(dāng)n=1，不等式左邊=

2

3

，右邊=

2

3

，
∴不等式成立；           
②設(shè)n=k（k≥1，k∈N^*）時，不等式成立，
即（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3k

）≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）（k∈N^*），
則當(dāng)n=k+1時，
左邊=（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3k

）（1-

1

3k+1

）≥[1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）]（1-

1

3k+1

），
而[1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）]•（1-

1

3k+1

）=1-

1

3k+1

-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）+

1

3k+1

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

+

1

3k+1

），
即n=k+1時，不等式也成立．
綜合①②，（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）（n∈N^*）．成立．
又1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）=1-

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

+

1

2×3n

＞

1

2

，
∴（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）＞

1

2

．成立．
從而b₁×b₂×b₃×…×b_n＜2×n!成立．

點評：本題考查遞推數(shù)列，考查數(shù)列等比關(guān)系的確定，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查分析法，推理與證明的能力，屬于難題．