【題目】已知橢圓：的離心率，左、右焦點(diǎn)分別是、，且橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)以為直角時(shí)，求直線的方程；

（3）直線的斜率存在且不為0時(shí)，試問軸上是否存在一點(diǎn)使得，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）（2）直線的方程為或（3）存在，

【解析】

（1）由橢圓的離心率，且橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為，列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線：，則：，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求得直線的方程；

（3）設(shè)：，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，再由斜率公式和以，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案.

（1）由題意，橢圓的離心率，且橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離為，

可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意可知，當(dāng)不存在時(shí)，不符合題意.

設(shè)直線：，則：，

∴，得，∴

∴，，∴，

直線的方程為或.

（3）設(shè)，，，：，

∴，

∴，，

∵，，所以，

∴，∴，

∴，，∴.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求拋物線的方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，證明:為等腰直角三角形.

（3）證明：為直角三角形.

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【題目】橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且。

（1）球橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)。是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

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【題目】設(shè)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（3）求，的坐標(biāo)；

（4）若直線，，的斜率之和為0，求的所有整數(shù)值.

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（2）令，如果圖象與軸交于，，中點(diǎn)為，求證：.

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