Question

【題目】已知拋物線的焦點坐標(biāo)為

（1）求拋物線方程；

（2）過直線上一點作拋物線的切線切點為A，B

①設(shè)直線PA、AB、PB的斜率分別為，求證：成等差數(shù)列；

②若以切點B為圓心r為半徑的圓與拋物線C交于D，E兩點且D，E關(guān)于直線AB對稱，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）根據(jù)焦點求出p即可寫出拋物線方程；（2）①設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義用、表示出、，再用、表示出，由即可證明；②求出直線AP、直線BP的方程，聯(lián)立求出兩直線的交點坐標(biāo)P，由點P在直線上進(jìn)一步化簡直線AP的方程，聯(lián)立拋物線方程與直線DE的方程得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)題意，再由點H在直線AB上將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式求解即可.

（1）由題意知，，拋物線方程為；

（2）①設(shè)，

因為，，所以，所以，，

則，，

所以，即成等差數(shù)列．

②直線AP的方程為，

同理直線BP的方程為，

則兩直線的交點坐標(biāo)，

代入直線，得①，

直線AB的方程為，

①式代入上式可得，

因為，所以直線AB的方程為，

1）若則拋物線上不存在兩點關(guān)于直線AB對稱，

2）若，設(shè)為拋物線上關(guān)于直線AB對稱的兩點，

此時

設(shè)DE方程為，DE與直線AB交于點，

，

，，

所以，，

因為H點在直線AB上，

所以代入式得，解得．