Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝a，

(1)求證：PD⊥平面ABCD；

(2)求證：平面PAC⊥平面PBD；

(3)求二面角P－AC－D的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】(1)證明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC．同理，PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD．

(2)證明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又四邊形ABCD是正

方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．又AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．

(3)設(shè)AC∩BD＝O，連接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC．又DO⊥AC，故∠POD為二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝.

在Rt△PDO中，tan∠POD＝.