【題目】已知函數(shù)

1若不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍;

2在(1)中, 取最小值時,設(shè)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍;

(3)證明不等式: ).

【答案】(1) ;(2) ;(3)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)原題等價于恒成立,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)判斷得出差上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, ,可得結(jié)論;(2)由(1)可得關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根,即,令,利用二次求導(dǎo)可得當時, 單調(diào)遞減,當時, 單調(diào)遞增,計算出端點值和極值,可得實數(shù)的取值范圍;(3)由(1)中的結(jié)論,令,則有,整理可得,當時,利用累加法可得結(jié)論成立.

試題解析:(1)由題意知, 恒成立.變形得: .

設(shè),則,由可知, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, 處取得最大值,且.

所以,實數(shù)的取值范圍是.

(2)由(1)可知, ,當時, ,

,

在區(qū)間上恰有兩個零點,即關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個實數(shù)根. 整理方程得, ,令, , 令 ,

,于是, 上單調(diào)遞增.

因為,當時, ,從而, 單調(diào)遞減,

時, ,從而 單調(diào)遞增,

, ,

因為,所以實數(shù)的取值范圍是.

(3)由(1)可知,當時,有,

當且僅當時取等號.

,則有,其中 .

整理得: ,

時,

, , ,

上面個式子累加得: .

.命題得證.

練習冊系列答案
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溫度x/C

21

23

24

27

29

32

產(chǎn)卵數(shù)y/

6

11

20

27

57

77

經(jīng)計算得: , , , ,

,線性回歸模型的殘差平方和,e8.0605≈3167,其中xi, yi分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產(chǎn)卵數(shù),i=1, 2, 3, 4, 5, 6.

()若用線性回歸模型,求y關(guān)于x的回歸方程=x+(精確到0.1);

()若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x的回歸方程為=0.06e0.2303x,且相關(guān)指數(shù)R2=0.9522.

( i )試與()中的回歸模型相比,用R2說明哪種模型的擬合效果更好.

( ii )用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35C時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).

附:一組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計為

=;相關(guān)指數(shù)R2=

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A. 3.119 B. 3.124 C. 3.132 D. 3.151

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