Question

（本小題滿分13分）

已知數(shù)列滿足：，

（I） 求得值；

（II）     設(shè)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；

（III）    對(duì)任意的，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫出這項(xiàng)，并證明這項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因?yàn)?，所以，，

,                      …………3分

（Ⅱ）由題意，對(duì)于任意的正整數(shù)，，

所以                                          …………4分

又 

所以                                           …………6分

    又                                  …………7分

     所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以     …………8分

（III）存在. 事實(shí)上，對(duì)任意的，在數(shù)列中，

這連續(xù)的項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列     ……10分

我們先來(lái)證明：

“對(duì)任意的，，有”

由（II）得，所以 .

     當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

記

因此要證，只需證明，

其中

(這是因?yàn)槿?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052017263568753201/SYS201205201728341406181329_DA.files/image028.png">，則當(dāng)時(shí)，則一定是奇數(shù)，

有

=；

     當(dāng)時(shí)，則一定是偶數(shù)，有

               = )

如此遞推，要證， 只要證明，

其中，

如此遞推下去， 我們只需證明，

即，即，由（I）可得，

所以對(duì)，，有，

對(duì)任意的 ，

，，其中，

所以

又，，所以

所以這連續(xù)的項(xiàng)，

是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列 .       …………13分

說(shuō)明：當(dāng)（其中）時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052017263568753201/SYS201205201728341406181329_DA.files/image053.png">構(gòu)成一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，所以從這個(gè)數(shù)列中任取連續(xù)的項(xiàng)，也是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為，公差為的等差數(shù)列.

【解析】略