如圖，在四棱錐中，底面為矩形， 為等邊三角形，，點為中點，平面平面.

（1）求異面直線和所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小.

（1）異面直線和所成角的余弦值為;（2）二面角的大小為.

解析試題分析：（1）建立如圖所示坐標(biāo)系,寫出各點的空間坐標(biāo)，利用，夾角的余弦，得出兩異面直線和所成角的余弦值. （2）利用平面的法向量與平面的法向量的夾角，求出二面角的大小.
試題解析：

解：取的中點，連接，為等邊三角形，
，又平面平面， 2分
以為原點，過點垂直的直線為軸，為軸， 為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，不妨設(shè),依題意可得：
 3分
（1）,
從而 ,
 5分
于是異面直線和所成角的余弦值為.6分
（2）因為，所以是平面的法向量，8分
設(shè)平面的法向量為，又，
由 即，令得 10分
于是 11分
從而二面角的大小為.                     12分
考點：異面直線所成的角，二面角，空間向量.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖（1），在三角形ABC中，BA=BC=2√乏，ZABC=900，點0，M，N分別為線段的中點，將AABO和AMNC分別沿BO，MN折起，使平面ABO與平面CMN都與底面OMNB垂直，如圖（2）所示．
（1）求證：AB//平面CMN；
（2）求平面ACN與平面CMN所成角的余
（3）求點M到平面ACN的距離．

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如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA的中點。
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)若直線PA與平面PBC所成角為30°，求二面角P-AD-C的正切值；
(3)求證：直線PA與平面PBD所成的角φ為定值，并求sinφ值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（2013•天津）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．
（1）證明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，， 為的中點．
 
（1）求直線與所成角的余弦值；
（2）在側(cè)面內(nèi)找一點，使面，并求出點到和的距離．

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如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點．

（1）設(shè)與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點（與兩點不重合），使得∥平面? 若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在長方體ABCD—A1B1C1D1中，，點E是棱AB上一點．且．

（1）證明：；
（2）若二面角D1—EC—D的大小為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,設(shè)是一個高為的四棱錐,底面是邊長為的正方形,頂點在底面上的射影是正方形的中心．是棱的中點．試求直線與平面所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.

求證:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.

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