Question

（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）令，（0≤3），其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  ≥ （Ⅲ）

解析:

（1）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞）當(dāng)時(shí)，，

       （2′）

       令=0，解得.（∵）因?yàn)?img width=59 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/117/175117.gif" >有唯一解，所以

       當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。

       所以的極大值為，此即為最大值。（5′）

   （2），，則有≤，在上恒成立，

       所以≥，（8′）

       當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥（10′）

   （3）因?yàn)榉匠?img width=84 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/140/175140.gif" >有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，

       設(shè)，則.    令，得.

       因?yàn)?img width=41 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/146/175146.gif" >，，所以（舍去），，

       當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，

       當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增

       當(dāng)時(shí)，=0，取最小值.（12′）

       則既

       所以，因?yàn)?img width=41 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/146/175146.gif" >，所以（*）

       設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解。

       因?yàn)?img width=55 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/171/175171.gif" >，所以方程（*）的解為，即，解得.（14′）