Question

由函數(shù)確定數(shù)列，.若函數(shù)能確定數(shù)列，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“反數(shù)列”.

（1）若函數(shù)確定數(shù)列的反數(shù)列為，求；

（2）對（1）中的，不等式對任意的正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)（為正整數(shù)），若數(shù)列的反數(shù)列為，與的公共項組成的數(shù)列為（公共項為正整數(shù)），求數(shù)列的前項和.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）　　　

【解析】

試題分析：（1）本題實質(zhì)是求函數(shù)的反函數(shù)；（2）不等式恒成立，因此小于不等式左邊的最小值，所以我們一般想辦法求左邊這個和，然而由（1）知，這個和求不出，那么我們只能從另一角度去思考，看的單調(diào)性，這里只要作差就可得出是遞增數(shù)列，所以的最小值是，問題解決；（3）看起來很復雜，實質(zhì)上由于和取值只能是0和1，因此我們按的奇偶性分類討論，問題就簡化了，例如當為奇數(shù)時，，則，就可求出，從而求出的前項和了．

試題解析：（1），則；4分

（2）不等式化為：，5分

設(shè)，因為，

所以單調(diào)遞增，                                    7分

則.因此，即.因為，

所以，得.             10分

（3）當為奇數(shù)時，，.        11分

由，則，

即，因此，                       13分

所以                                          14分

當為偶數(shù)時，，.                    15分

由得，即，因此，   17分

所以                                    18分

考點：（1）反函數(shù)；（2）數(shù)列的單調(diào)性；（3）分類討論，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和．