Question

【題目】已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線,的斜率乘積為常數(shù)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.

① 存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；

② 存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為定值；

③ 不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值；

④ 不存在常數(shù)，使上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值.

其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

【答案】②④

【解析】

由題意首先求得點(diǎn)P的軌跡方程，然后結(jié)合雙曲線方程的性質(zhì)和橢圓方程的性質(zhì)考查所給的說(shuō)法是否正確即可.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（x，y），

依題意，有：，

整理，得：，

對(duì)于①，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且c＝4，a＜0，

橢圓在x軸上兩頂點(diǎn)的距離為：2＝6，焦點(diǎn)為：2×4＝8，不符；

對(duì)于②，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且c＝4，

橢圓方程為：，則，解得：，符合；

對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，所以，存在滿足題意的實(shí)數(shù)a，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，即，

不可能成為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，

所以，不存在滿足題意的實(shí)數(shù)a，正確.

所以，正確命題的序號(hào)是②④.