已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).

(I)若動(dòng)點(diǎn)滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)的軌跡方程;

(II)在軸上是否存在定點(diǎn),使?為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

解:由條件知,設(shè)

解法一:(I)設(shè),則,,

,由

于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)不與軸垂直時(shí),,即

又因?yàn)?sub>兩點(diǎn)在雙曲線上,所以,,兩式相減得

,即

代入上式,化簡(jiǎn)得

當(dāng)軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.

所以點(diǎn)的軌跡方程是

(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).

當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是

代入

是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以,

于是=

因?yàn)?sub>是與無(wú)關(guān)的常數(shù),所以,即,此時(shí)=

當(dāng)軸垂直時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為,,

此時(shí)=(1,)?(1,-)

故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).

解法二:(I)同解法一的(I)有

當(dāng)不與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程是

代入

是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以

由①②③得.…………………………………………………④

.……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時(shí),,由④⑤得,,將其代入⑤有

.整理得

當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,滿足上述方程.

當(dāng)軸垂直時(shí),,求得,也滿足上述方程.

故點(diǎn)的軌跡方程是

(II)假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn),使為常數(shù),

當(dāng)不與軸垂直時(shí),由(I)有,

以上同解法一的(II).

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已知雙曲線C:
x2
9
-
y2
16
=1
的左、右焦 點(diǎn)分別為F1、F2,P為C的右支上一點(diǎn),且|
PF2
|=|
F1F2
|,則△PF1F2
的面積等于
 

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(本小題滿分12分)已知橢圓的方程為 ,雙曲線的左、右焦

 

點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn),而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn).

(1)求雙曲線的方程;                                             

(2)若直線與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,求的范圍。

 

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