Question

（2009•湖北模擬）集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的：對于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=2-

x

及f₂（x）=1+3•（

1

2

)x（x≥0）是否在集合A中？試說明理由；
（2）對于（1）中你認為是集合A中的函數(shù)f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立．求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要判斷函數(shù)f1(x)=2-

x

及f2(x)=1+3•(

1

2

)x是否在集合A中，只要判斷對于任意的x≥0f（x）是否滿足f（x）∈（1，4]，且f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減即可
（2）由（1）可知，當x≥0時，f(x)=1+3•(

1

2

)x，從而有f（x）+f（x+2）=2+

15

4

•（

1

2

)x≤k在（0，+∞）上恒成立
，從而轉(zhuǎn)化為求解2+

15

4

•(

1

2

)x在（0，+∞）上的最大值即可

解答：解：（1）∵f₁（49）=2-

49

=-5∉（1，4]，∴f₁（x）不在集合A中．…（3分）
又∵x≥0，∴0＜（

1

2

)x≤1，∴0＜3•（

1

2

)x≤3，從而1＜1+3•（

1

2

)x≤4．∴f₂（x）∈（1，4]．
又f₂（x）=1+3•（

1

2

)x在[0，+∞）上為減函數(shù)，∴f₂（x）=1+3•（

1

2

)x在集合A中．…（7分）
（2）當x≥0時，f（x）+f（x+2）=2+

15

4

•（

1

2

)x≤

23

4

．
又由已知f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立，∴k≥

23

4

．
因此所求實數(shù)k的取值范圍是[

23

4

，+∞）．                      …（14分）

點評：本題以集合的關(guān)系為載體主要考查了函數(shù)的單調(diào)性于函數(shù)的值域的求解，而函數(shù)的恒成立的問題的解決常轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值．