Question

（2010•黃岡模擬）若關(guān)于x的實系數(shù)方程x²+ax+b=0有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，3）內(nèi)，記點（a，b）對應(yīng)的區(qū)域為S．
（1）設(shè)z=2a-b，求z的取值范圍；
（2）過點（-5，1）的一束光線，射到x軸被反射后經(jīng)過區(qū)域S，求反射光線所在直線l經(jīng)過區(qū)域S內(nèi)的整點（即橫縱坐標為整數(shù)的點）時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=x²+ax+b，根據(jù)題意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（3）＞0，進而求得b＞0，a+b+1＜0，a+b+9＞0，畫出可行域，進而分別求得z的最大和最小值，答案可得．
（2）過點（-5，1）的光線經(jīng)x軸反射后的光線必過點（-5，-1），由圖可知，找出可能滿足條件的整點，再結(jié)合不等式知點（-3，1）符合條件，得到此時直線方程即可．

解答：解：方程x²+ax+b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，3）上的幾何意義是：
函數(shù)y=f（x）=x²+ax+b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間（0，1）和（1，3）內(nèi)，
由此可得不等式組

f(0)＞0 f(1)＜0 f(3)＞0

，即

b＞0 a+b+1＜0 3a+b+9＞0

，
則在坐標平面aOb內(nèi)，點（a，b）對應(yīng)的區(qū)域S如圖陰影部分所示，
易得圖中A，B，C三點的坐標分別為（-4，3），（-3，0），（-1，0），（4分）
（1）令z=2a-b，則直線b=2a-z經(jīng)過點A時z取到下邊界-11，經(jīng)過點C時z取到上邊界-2，
又A，B，C三點的值沒有取到，所以-11＜z＜-2；（8分）
（2）過點（-5，1）的光線經(jīng)x軸反射后的光線必過點（-5，-1），由圖可知
可能滿足條件的整點為（-3，1），（-3，2），（-2，2），（-2，1），
再結(jié)合不等式知點（-3，1）符合條件，所以此時直線方程為：y+1=

1-(-1)

-3-(-5)

-（x+5），
即y=x+4   （12分）

點評：本題主要考查了一元二次方程根據(jù)的分布，以及線性規(guī)劃的基本知識．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合運用．