(1)試判斷:數(shù)列{loga(xn-1)+1}是什么數(shù)列;
(2)當(dāng)DnDn+1對一切n∈N*恒成立時,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)a=時,試比較Sn與n+7的大小,并說明你的結(jié)論.
(文)已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是定義在R上的函數(shù),其圖象交x軸于A、B、C三點(diǎn).若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),且f(x)在[-1,0]和[4,5]上有相同的單調(diào)性,在[0,2]和[4,5]上有相反的單調(diào)性.
(1)求c的值.
(2)在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)M(x0,y0),使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)求|AC|的取值范圍.
答案:(理)解:(1)是等比數(shù)列.2分由點(diǎn)Pn處的切線與直線AAn平行可知,xn=.
由xn+1=af(xn-1)+1(a>0,a≠,a≠1)可知xn+1-1=a(xn-1)2,則loga(xn+1-1)=2loga(xn-1)+1.設(shè)bn=loga(xn-1),則bn+1+1=2(bn+1).又b1=loga(x1-1)=loga2,因此數(shù)列{bn+1}是以b1+1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,即{loga(xn-1)+1}是等比數(shù)列.
則bn+1=(loga2+1)·2n-1,即bn=(loga2+1)·2n-1-1=loga,∴xn=1+.
(2)由條件xn=可知an=1+.由DnDn+1知an>an+1,即 [1-]>0,則[1-]>0,即0<a<.
(3)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,當(dāng)a=時,an=1+=1+8.
Sn=n+8[+()2+()4+…+].可以證明:當(dāng)n≥4,有2n-1>n+1;∴當(dāng)n≤3時,Sn≤n+8[+()2+()4]=n+<n+7;
當(dāng)n≥4時,Sn<n+8[+()2+()4+()5+()6+…+()n+1]=n+7-()n-2<n+7,則Sn<n+7.
(文)解:(1)∵f(x)在[-1,0]和[0,2]上有相反的單調(diào)性,∴x=0是f(x)的一個極值點(diǎn).故f′(0)=0,2分即3ax2+2bx+c=0有一個解x=0,則c=0.
(2)∵f(x)交x軸于點(diǎn)B(2,0),∴8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a).令f′(x)=0得3ax2+2bx=0,x1=0,x2=.
∵f(x)在[0,2]和[4,5]上有相反的單調(diào)性,∴∴-6≤≤-3.
假設(shè)存在點(diǎn)M(x0,y0),使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b,則f′(x0)=3b,即3ax02+2bx0-3b=0.
∵Δ=(2b)2-4×3a×(-3b)=4b2+36ab=4ab(+9),而-6≤≤-3,∴Δ<0.故不存在點(diǎn)M(x0,y0),使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b.
(3)設(shè)A(α,0),C(β,0),依題意可令f(x)=a(x-α)(x-2)(x-β)=a[x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ],
則即∴|AC|=|α-β|=
==.〔∵d=-4(b+2a)〕∵-6≤≤-3,∴當(dāng)=-6時,|AC|max=;當(dāng)=-3時,|AC|min=3.故3≤|AC|≤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(08年周至二中四模理) 已知曲線f(x)=x3+x2+x+3在x= -1處的切線恰好與拋物線y=2px2相切,則過該拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交得的線段長度為 ( )
A.4 B. C.8 D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題
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