Question

設(shè)偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，則不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0的解集為（　　）

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可將原不等式變形為xf（x）＞0，然后分兩種情況討論：當(dāng)x＞0時有f（x）＞0，根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，得到0＜x＜2；當(dāng)x＜0時有f（x）＜0，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)的性質(zhì)與（0，+∞）上的單調(diào)性，得x＜-2．

解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）
不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0，即

2f(x)

x

＞0
也就是xf（x）＞0
①當(dāng)x＞0時，有f（x）＞0
∵f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0
∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；
②當(dāng)x＜0時，有f（x）＜0
∵-x＞0，f（x）=f（-x）＜f（2），
∴-x＞2⇒x＜-2
綜上所述，原不等式的解集為：（-∞，-2）∪（0，2）
故選B

點評：本題以函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性為載體，考查了抽象不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．