設(shè)數(shù)列{an}滿足an=2an-1+1(n≥2),且a1=1,bn=log2(an+1)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{
1
bnbn+2
}的前n項和為Sn,證明:Sn
3
4
分析:(1)由已知可得an+1=2(an-1+1),數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項,以2為公比的等比數(shù)列,即可求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)先求bn,代入,再利用裂項求和方法即可證明.
解答:(1)解:因為an=2an-1+1(n≥2),所以an+1=2(an-1+1)(n≥2),
所以數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項,以2為公比的等比數(shù)列.
所以an+1=2•2n-1=2n
所以an=2n-1…(4分)
(2)證明:因為an=2n-1,所以bn=log2(an+1)=n…(6分)
所以
1
bnbn+2
=
1
n(n+2)
=
1
2
1
n
-
1
n+2
).…(8分)
所以Sn=
1
2
1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+
…+
1
n-1
-
1
n+1
+
1
n
-
1
n+2
)=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
)

=
3
4
-
1
2
(
1
n+1
+
1
n+2
)
3
4
.…(12分)
點評:本題主要考查了等比數(shù)列的判斷與證明,等比數(shù)列的通項公式及裂項求和方法的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,且對任意的n∈N*,點Pn(n,an)都有
.
PnPn+1
=(1,2)
,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準等差數(shù)列.如:若cn=
4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時.
則{cn}
是公差為8的準等差數(shù)列.
(I)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.求證:{an}為準等差數(shù)列,并求其通項公式:
(Ⅱ)設(shè)(I)中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,試研究:是否存在實數(shù)a,使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項都等于50.若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準等差數(shù)列.如數(shù)列cn:若cn=
4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時
,則數(shù)列{cn}是公差為8的準等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.
(Ⅰ)求證:{an}為準等差數(shù)列;
(Ⅱ)求證:{an}的通項公式及前20項和S20

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2+a4=6,且對任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0
cn=an+
1
2an
,則數(shù)列{cn}的前n項和Sn為( 。
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=1-
1
an
,令An=a1a2an,則A2013
=( 。

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