（2005•溫州一模）已知點A（5，0）和⊙B：（x+5）2+y2=36，P是⊙B上的動點，直線BP與線段AP的垂直平分線交于點Q．
（1）證明點Q的軌跡是雙曲線，并求出軌跡方程．
（2）若(
BQ
+
BA
)•
QA
=0，求點Q的坐標．
分析：（1）由點Q在線段AP的垂直平分線上，知|QP|=|QA|，所以||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．由此能求出點Q的軌跡方程．
（2）以A、B、Q為三個頂點作平行四邊形ABQC，則
BQ
+
BA
=
BC
．由(
BQ
+
BA
)•
QA
=0，知
BC
•
QC
=0，所以平行四邊形ABQC是菱形，由此能求出點Q的坐標．
解答：解：（1）∵點Q在線段AP的垂直平分線上，
∴|QP|=|QA|，
∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．
∴點Q的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線．（4′）
其軌跡方程是
x2
9
-
y2
16
=1．（7′）
（2）以A、B、Q為三個頂點作平行四邊形ABQC，
則
BQ
+
BA
=
BC
∵(
BQ
+
BA
)•
QA
=0，
∴
BC
•
QC
=0，
∴平行四邊形ABQC是菱形，
∴|
BA
|=|
BQ
|．（8′）
∴點Q在圓（x+5）2+y2=100上．
解方程組
(x+5)2+y2=100
x2
9
-
y2
16
=1
．（10′）
得Q(-
39
5
，±
48
5
)或Q(
21
5
，±
8
6
5
)．（12′）
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•溫州一模）已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，Sn為其前n項的和．對于任意的n∈N*，都有4Sn=（an+1）2．
（1）求數(shù)列{an} 的通項公式．
（2）若2n≥tSn 對于任意的n∈N* 恒成立，求實數(shù)t 的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•溫州一模）
lim
x→+∞
(
1
2
)x=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•溫州一模）已知直線l的方程是Ax+By+C=0，與直線l垂直的一條直線的方程是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•溫州一模）用i表示虛數(shù)單位，則1+i+i2+…+i2005=（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•溫州一模）已知{an}是等比數(shù)列，a2-a1=1，a5-a4=8，則{an}的公比是（　　）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案